Item gefilterd op datum: december 2012

• Kennistheoretisch

Aanvaardt vormen als kennisobject, maar loochent dat ze een afzonderlijk bestaan zouden leiden:

• geringer vertrouwen in de strikt wiskundige methode:

kennis van de vormen gebeurt door een abstractieprocédé = nadat we talloze, concrete, volmaakte benaderingen van cirkels hebben gezien, vormt zich in onze geest het begrip ‘volmaakte cirkel’

DUS: denken is gebouwd op ervaring = “empeiria” = inzicht dat men krijgt door ouder te worden en veel te hebben beleefd

• ontwikkeling van de logica

wiskundige methode voldoet niet  noodzaak om toch het denkproces olgens strenge regels te laten verlopen

• Formele en informele logica
• Formele logica

= logica die eerder de vorm, of de structuur van het denken onderzoekt in plaats van de inhoud

- Begrippen samenvoegen tot oordelen

- Oordelen samenvoegen tot gevolgtrekkingen

 syllogisme ( maior – minor – conclusio )

- Gevolgtrekkingen samenvoegen tot bewijzen

 axioma’s: iets kan niet tegelijk zichzelf en zijn tegendeel zijn

• Informele logica

= logica die correcte redeneringen poogt te onderscheiden van drogredeneringen (‘fallacies’) door de inhoud ervan te onderzoeken

• Drogredeneringen (informele logica)

- Ad hominem argument = discussie pogen te winnen door de tegenstander aan te vallen op zijn persoon (op de man spelen)

- Gezagsargument = ontkrachten of ondersteunen door naar een autoriteit te verwijzen

- Bad company / good company = naar personen verwijzen die met dit standpunt in verband kunnen worden gebracht

- ‘iedereen doet het’ = van mening zijn dat een bepaalde houding / bepaald gedrag correct is, omdat iedereen deze houding heeft of dit gedrag vertoont

- Anekdotiek - drogredenering = verwijzen naar een anekdote om een standpunt of stelling te ‘bewijzen’

- ‘begging the question’ = datgene wat men moet bewijzen al gevolg van een beargumenteerde redenering, reeds opnemen in de redenering zelf

- Cirkelredeneringen = de conclusie van een redenering baseren op bepaalde premissen, maar de premissen zelf ondersteunen door de conclusie

• Na Aristoteles: dubbele tendens
• Theoretische aanpak

Nadruk op de creatieve rol van de menselijke geest bij de kennisverwerving:

- Eenvoudige deductieve logica

- Algemene uitspraken

- Gevaar: te ver afwijken van de werkelijke wereld

• Empirische aanpak

Alleen door ervaring kunnen decisieve resultaten worden bekomen:

- Houdt zich strenger aan de ervaringsgegevens

- Niet duidelijk hoe men tot algemene wetten kan komen

- Probleem: moeilijkheid om tot een logica van de inductie te komen

= trekken van een algemeen besluit uit een aantal bijzondere gevallen

• Teleologische wereldvisie

Klemtoon op de doelgerichtheid die ogenschijnlijk in de wereld aanwezig is:

- Wereld: verklaren door het doel aan te wijzen waarnaar alles streeft

- Niet: Platonische vormen liggen aan oorsprong van alles wat bestaat

- Maar: doeleinden van de dingen  veroorzaken stuwkracht naar een meer volmaakt realisatie

= CAUSALE / OORZAKELIJKE VERKLARING

 zette zich sterker door bij de ontwikkeling van de moderne natuurkunde

 won ook het pleit in de biologie door Charles Darwin zijn evolutietheorie en de ontdekkingen in de moleculaire biologie

• Ethica en politiek

NIET: uitgaan van een ideaalbeeld (zoals de platonisch gerichte filosofen deden)

MAAR: meent dat de juiste inzichten uit de menselijke activiteit en de reflectie hierover moeten groeien

 trouw aan het Socratisch ideaal van het zoek naar het goede, maar: totaalvisie over de mens en over de wereld waarin die mens leeft is nodig

 ziet in dat betrouwbare kennis aan een aantal eisen moet beantwoorden

 beseft dat men inzicht moet hebben in de mogelijkheden en beperkingen van de menselijke kenniswerving

• Kennisleer gebaseerd op wiskunde (meetkunde)

Meetkunde : niet de figuren die men in de praktijk kan tekenen en waarnemen, maar veeleer volmaakte vormen worden bestudeerd

 Besef: deze wetenschap is mogelijk door nauwkeurige definities >> belang van een exacte taal in het denkproces

Besluit: kennis in het algemeen = kennis van volmaakte vormen die in definities worden gevat

>>> VORMENWERELD: hierin bestaat het basismodel, het prototype van alle dingen op volmaakte wijze (onze ervaarbare wereld toont slechts benaderende realisaties van deze vormen

• Ontwikkeling van de sterrenkunde

Beweging van sterren : - eenparige beweging

- cirkelvormige banen

Beweging van planeten : problemen!  bewegen in onregelmatige banen

 Men stelde zich tot doel aan te tonen dat, wat voor de waarnemer onregelmatig lijkt, in feite objectief volmaakte cirkelbewegingen zijn

REDEN: ‘als de sterren goddelijk zijn, dan moeten ze de vormenwereld nauwkeurig volgen; er moet dus een eenvoudige, volmaakt wiskundige vorm voor te vinden zijn.’

• Euxodos van Knidos (1.IV v. C.)

Heelal = reeks van concentrische kristallen bollen die door assen met elkaar zijn verbonden en draaien met eenparige bewegingen

• Hipparchos (II v.C.)

Afwijkende beweging van de planeten wordt gesimuleerd door het systeem van de epicycli

= cirkelvormig en eenparig beweegt er zich een punt rond de aarde, terwijl rond dit punt een ander punt draait, eveneens cirkelvormig en met eenparige snelheid  het laatste punt stelt de planeet voor die een afwijkende beweging lijkt te maken, vanuit het gezichtspunt van de aarde

• Ptolemaios

Verdere uitwerking van Hipparchos  voldeed aan de eis tot volmaakte cirkelvormigheid, maar kon ook de posities van de planeten zeer goed voorspellen (aanvaard tot in XVI)

• Copernicus

Heliocentrisch systeem  nog steeds met volmaakte cirkelbewegingen en eenparigheid

• Kepler

Feiten dwongen hem over te stappen naar ellipsvormige bewegingen (sluiten het dichtst aan bij de cirkel)

• Invloed op statica en hydrostatica

Statica = theorie van balansen en hefbomen

Hydrostatica = studie van het gewicht van lichamen in een vloeistof

- Archimedes: wereld heeft eenvoudige wiskundige structuur

- Galilei: paste deze methode toe op mechanica (ontstaan experimentele methode)

- Newton en Einstein: idee van de fundamenteel wiskundige structuur van de wereld

• Toepassen om esthetica, moraal en politiek

Mooi >>> object vertoont een meer dan gewone gelijkenis met de Vormen

Lelijk, immoreel, onrecht >>> object / situatie waarin op esthetisch, moreel of politiek vlak verregaand van de ideale Vorm wordt afgeweken

 volgens Plato’s visie is het mogelijk om door rationeel onderzoek een moraal op te bouwen en een staatsordening te ontwerpen die het ideaal meer en meer benadert

• Plato’s mensvisie

Mens behoort met zijn lichamelijkheid tot de aardse wereld

MAAR: zijn ziel (nous): - is afkomstig uit de Vormenwereld

- heeft een goddelijk karakter

- is onverwoestbaar

 omdat de ziel, in de Vormenwereld, kennis heeft genomen van de volmaakte Vormen, kan ze zich tijdens haar aardse bestaan die Vormen herinneren

 we zijn objectief in staat classificaties te maken

 dualistische visie: onderscheid tussen lichaam en ziel

• Open samenleving en haar vijanden – K. Popper
• Gesloten maatschappijvisie

= de idee dat men een volmaakte maatschappij kan construeren die niet vatbaar hoeft te zijn voor verdere evolutie en bijgevolg geen nood denkt te hebben aan kritische commentaren

 elke kritiek komt als vijandig over en zal het zwijgen opgelegd worden !

• Open maatschappijvisie

= samenleving die garandeert dat de mogelijkheid tot het leveren van kritiek bestaat, en die daadwerkelijk poogt rekening te houden met die kritiek

- Maatschappij die open wil zijn, moet over een aantal instellingen beschikken die op basis van grondig onderzoek gefundeerde kritiek kunnen leveren op het beleid

- Maatschappij = nooit perfect / volmaakt  er komen voortdurend nieuwe elementen / problemen bij waardoor er altijd redenen zijn om kritiek te leveren

• Paradox van de democratie

Wat als de meerderheid beslist de democratie op te heffen???

Democratie ≠ de wil van de meerderheid

= het bestaan en behoud van de vrije instellingen die kritiek kunnen leveren

• Vrijheid

≠ absoluut: - staat moet kunnen tussenkomen als vrije instellingen in het gedrang komen

- staat moet trachten te vermijden dat mensen in ongelukkige of onleefbare omstandigheden terechtkomen

• Probleem

Realiseren rationele maatschappij  drang tot beschermen van die realisatie voor verdere verandering of degeneratie

 totalitarisme

• Sofisten

= rondreizende leraars die aan de stilaan groeiende rationele denkwijzen een praktische toepassing gaven

- onderwezen tegen betaling zonen van rijke burgers om ze voor te bereiden op een rol in het politieke leven

- Kritisch denken toepassen op problemen van moraal en maatschappij – ordening, in plaats van uitsluitend op de natuur

- Zwaartepunt van de filosofie: van onderzoek naar de aard van de werkelijkheid, naar studie van de mens en de samenleving

- Introduceren van het relativisme

- Spraken niet over godsdienst

• Protagoras

- “De mens is de maat van alle dingen”  er is geen absolute waarheid of absolute waarden

- Overreden = belangrijker dan de waarheid

• Socrates

(° 470 v.C. in Athene)

- Kon relativisme van de sofisten niet aanvaarden

- Zag in dat oude funderingen van moraal en maatschappijordening op mythen en tradities niet meer volstonden

- Was een meesterlijke ondervrager

- “Ik weet dat ik niet weet”  maakte hem volgens hem wijzer dan de sofisten, die beweerden iets te weten

- Bronnen voor Socrates: Xenophon en Plato

 wiskunde ontstond vooral uit praktische overwegingen bij Egyptenaren en Babyloniërs

 Grieken: kennis omwille van de kennis

 natuurfilosofen zochten logica in de onvoorspelbaarheid: natuurwetten

- Studie van de natuur

- Wetten in de natuur

- Kennis zoeken met wiskunde als model

- Inzicht dat de natuur evolueert

• Thales van Milete

- Was heel bereisd: noties van meetkunde en astronomie in Egypte)

- Zocht bewijsvoeringen: welke wiskundige regels de juiste waren  theorie dat de wereld vatbaar was voor argumentatie

- Begreep dat de werkelijkheid voortdurend verandert

- Water = beginsel dat de diversiteit en veranderlijkheid van de werkelijkheid kon verklaren

REDEN: water kan in drie vormen voorkomen: vloeibaar, ijs en gas  kan zich misschien transformeren tot alles wat bestaat?

• Anaximander

= leerling van Thales

Onzichtbare oerstof = apeiron  ligt ten grondslag aan de vier hoofdelementen: water, lucht, aarde en vuur

• Anaximenes

= derde Milesische natuurfilosoof

Lucht = oerstof van de werkelijkheid

• Pythagoras

- ° Samos, VI voor Christus

- Getal = grondslag voor alles wat bestaat

 bv: wiskundig uitdrukken van muziek: als dit wiskundig kan uitgedrukt worden, dan kan dit misschien wel met de hele werkelijkheid?

God = een wiskundige: kosmos = orde

orde = harmonisch

harmonisch = mooi  ware = schone !!

- Werkelijkheid is veranderlijk en dus minderwaardig aan de eeuwige waarheden van de wiskunde

>>> getallen zijn belangrijker dan de zintuiglijke werkelijkheid: ze overstijgen de realiteit en zijn eeuwig

- Probleem:

A² + B² = C²

Maar: als A = 1

B = 1

dan C = V2 = IRRATIONEEL GETAL

= buitensporig lelijk

 gevolg: na Pythagoras werd het getal verwaarloosd en werd de wiskunde meetkundig

• Heraklitos

- ° 540 v. C., Efese

- Oerstof = vuur:

vuur is vluchtig en ongrijpbaar  ‘panta rhei’ = ‘alles stroomt’ (cf. uitspraak: “Je kan nooit twee keer in dezelfde rivier baden”)

- Vinger op zere wonde:

“We kunnen wel op zoek gaan naar het eeuwige getal, of het apeiron, of het atoom, enzovoort… (cf. praesocratische zoektocht naar het onveranderlijke), maar het enige wat we vinden is het veranderlijke en het tijdelijke.”

• Parmenides

“Enkel het zijn bestaat en het zijn is één”

- Zintuigen zijn bedrieglijk

- Veranderingen die we waarnemen zijn bedrieglijk

- Er is geen tijd, aangezien er geen verandering is

- Begrip ‘worden’ drukt illusies uit

• Zeno van Elea

- Actief rond 450 v. C., leerling van Parmenides

- Poogde aan te tonen dat beweging niet bestaat

- Bewees stellingen van Parmenides op wiskundige manier

- Paradox van schildpad en Achilles

Schildpad krijgt beetje voorsprong en hoe hard Achilles ook loopt, hij kan de schildpad nooit inhalen

Cf. helft van de helft van de helft…

FOUT: 1 + ½ + ¼ + 1/8 + + 1/16 + ∞ = 2 !!!

• Leucippus en Democritos

- Atomisme = materialistische leer uit vijfde eeuw v. C.

- Probleem van de verhouding tussen het eeuwige (= onveranderlijke) en het tijdelijke (= veranderlijke) op te lossen door te stellen wat bestaat opgebouwd is uit kleine, ondeelbare deeltjes = atomen

- Botsingen van de atomen = ontstaan van voorwerpen

- Onsterfelijkheid kan niet: ziel wordt vernietigd op het moment dat de atomen waaruit ze zijn opgebouwd elkaar weer loslaten

• Ontstaan in Ionië, aan de Egeïsche kust
• Door het ontstaan van de filosofie vervalt de macht van de goden
• Eerste filosofen stelden zich tot taak om deze wetmatigheden of natuurwetten te doorgronden

1) kunstmatig geconstrueerde wereld (rechten en cirkels)

2) constructies: niet in hun concrete verwezenlijking beschouwd, maar enkel in de mate waarin ze aan de definities beantwoorden

3) beperkt zich tot gedefinieerde, volmaakte vormen  evidente uitspraken doen die in ‘postulaten’ en ‘gemeenschappelijke inzichten’ worden geëxpliciteerd

4) grondstellingen  kettingen vormen van gelijkheden of gelijke verhoudingen en op die manier nieuwe stellingen bewijzen

5) overtuiging dat de geconstrueerde wereld samenhangend is (cf. reductio ad absurdum)

>>> leren deze constructies door onze geest iets over de werkelijke ruimte rondom ons?(2 voorwaarden)

• postulaten over de constructiemogelijkheid van de cirkel en de rechte mogen niet intern contradictorisch zijn
• figuren die in de zintuiglijke wereld gerealiseerd worden, moeten minstens bij benadering de eigenschappen van de meetkundige constructies bezitten

• Thales van Milete

= eerste Griekse wiskundige  liet eerste vorm van bewijsvoering berusten op het ‘evidente feit’ dat dingen die kunnen samenvallen aan elkaar gelijk zijn

• Volgende stap: definiëren

Figuren die men tekent moeten gedefinieerd worden zodat de stellingen niet meer over concrete tekeningen, maar over bedachte constructies gaan  resultaten neerschrijven om ze bij volgende bewijzen als vaststaand te kunnen gebruiken

>>> dialoogmethode = factor die ertoe leidt de uitgangspunten te preciseren:

• eerst grondslag van onenigheid zoeken
• uitmaken over welke grondslagen en definities men het wel eens is
• daarvan uitgaande: eigen standpunt bewijzen of dat van de tegenstrever weerleggen

• Euklides

Samenvallen = criterium voor gelijkheid  een van zijn axioma’s

• Belang van definities

Grieken gaven slechts aan de cirkel en de rechte een definitie wordt gegeven die op een intuïtieve zekerheid gebaseerd is

 wilden alle figuren die men kon indenken construeren bij middel van cirkels en rechten (= dmv ideale passer en liniaal)

Drie beroemdste constructieproblemen:

1. driedeling van een hoek
2. verdubbeling van de kubus
3. kwadratuur van de cirkel

Volgende stappen

• bewijzen van rekenkundige stellingen
• bewijs door reductio ad absurdum (= als men kan bewijzen dat uit een bewering haar tegendeel volgt,dan mag die redenering als ongeldig worden beschouwd)
• bestaan van irrationele getallen
  • leer van verhoudingen en evenredigheden

 samenbrengen van samenhangende stellingen tot steeds grotere gehelen (cf. Euklides: één enkel axiomastelsel in zijn Elementa)

Westerse wiskunde = gekenmerkt door:

- bewijsvoeringen

- het streven naar systematisering: onderbrengen van de resultaten in 1 samen hangende geheel

• Politieke en economische factoren:(Griekenland)

TEN EERSTE

• verregaande eenheid in taal en cultuur
• grote politieke verdeeldheid: onafhankelijke stadstaten

 ruime culturele uitwisseling is mogelijk

 starre eenvormige traditie wordt vermeden

TEN TWEEDE

• volksvergadering die alle burgers omvatte

 vrijheid van denken en spreken

 tendens tot discussie

• dialectische methode = argumentering in dialoogvorm

TEN DERDE

door de handel: ontstaan klasse van welvarende burgers

 ontstaan vrije tijd die gebruikt werd voor het beluisteren van poëzie en muziek

Inleiding

Streven naar betrouwbare kennis: wiskunde = ideaal

Wijsbegeerte = poging om dit ideaal te benaderen, daar waar het niet volledig bereikbaar is

 onderzoek naar de wordingsgeschiedenis van de denkmethodes  inzicht in de karakteristieken en hinderpalen ervan

Opm: het westerse denken is gekarakteriseerd door het feit dat de wijsbegeerte en de wiskunde tegelijk zijn ontstaan

• Logica

= theorie van de geldige redenering (cf. Aristoteles, IV BC)

= theorie over taal en studie van de redeneerwijze van de wiskundige deductieve methode + studie over redeneerwijze van de ervaringswetenschappen (heden ten dage)

• Kennisleer of epistemologie

= studie van wat kennis is, of we geldige kennis kunnen bereiken en hoe dit moet gebeuren

 voor de XVII werden bijna alle problemen die de mens zich stelde, benaderd in de wijsbegeerte

 sinds het ontstaan van moderne natuurkunde (XVII) heeft men gaandeweg ingezien dat de meeste problemen die de natuur betreffen in de wetenschappen thuishoren